Question

【題目】已知橢圓，三點中恰有二點在橢圓上，且離心率為。

（1）求橢圓的方程；

（2）設為橢圓上任一點， 為橢圓的左右頂點， 為中點，求證：直線與直線它們的斜率之積為定值；

（3）若橢圓的右焦點為，過的直線與橢圓交于，求證：直線與直線斜率之和為定值。

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析;（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據橢圓性質判斷得在橢圓上，代入橢圓方程并與離心率聯立解得（2）設，用坐標表示，再根據點在橢圓上化簡求值，（3）設，用坐標表示聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代人化簡可得定值.

試題解析：（1）由橢圓性質得：

在橢圓上，

得：

（2）設為橢圓上任一點， ，

得：

（3）設直線： ，設聯立得：

，

代入得，