Question

已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足c=

3

asinC-ccosA．
（1）求∠A的大小；
（2）若a=

3

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：綜合題,解三角形

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，由C為三角形的內角，得到sinC不為0，等式左右兩邊同時除以sinC，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，根據A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數．
（2）由余弦定理和已知可解得bc≤9，從而可求△ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）利用正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化簡已知等式得：sinC=

3

sinAsinC-sinCcosA，
∵C為三角形的內角，即sinC≠0，
∴

3

sinA-cosA=1，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
又A為三角形的內角，
∴A-

π

6

=

π

6

，
則A=

π

3

．
（2）由余弦定理，可得：a²=9=b²+c²-2bccos

π

3

=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc
即bc≤9，
所以S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×9×

3

2

=

9 3

4

點評：此題考查了正弦定理，余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，屬于中檔題．