Question

下列命題：
①k＞4是方程x²+y²+2kx+4y+3k+8=0表示圓的充要條件；
②把y=sinx的圖象向右平移

π

3

單位，再保持縱坐標不變，橫坐標變為原來的

1

2

，得到函數y=sin（2x-

π

3

）的圖象；
③函數f（x）=sin（2x+

π

3

）在[0，

π

6

]上為增函數；
④橢圓

x2

m

+

y2

4

=1的焦距為2，則實數m的值等于5．
其中正確命題的序號為（　　）

• A、①③④
• B、②③④
• C、②④
• D、②

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①方程x²+y²+2kx+4y+3k+8=0化為（x+k）²+（y+2）²=k²-3k-8，由k²-3k-4＞0，解得k＞4或k＜-1，即可判斷出；
②把y=sinx的圖象向右平移

π

3

單位可得y=sin(x-

π

3

)，再保持縱坐標不變，橫坐標變為原來的

1

2

，得到函數y=sin（2x-

π

3

）的圖象；
③x∈[0，

π

6

]，可得(2x+

π

3

)∈[

π

3

，

2π

3

]，可得函數f（x）=sin（2x+

π

3

）在[0，

π

6

]上不具有單調性；
④橢圓

x2

m

+

y2

4

=1的焦距為2，則4-m=1或m-4=1，解得m=3或5．即可判斷出．

解答： 解：①方程x²+y²+2kx+4y+3k+8=0化為（x+k）²+（y+2）²=k²-3k-8，由k²-3k-4＞0，解得k＞4或k＜-1，
因此k＞4或k＜-1是方程x²+y²+2kx+4y+3k+8=0表示圓的充要條件，因此不正確；
②把y=sinx的圖象向右平移

π

3

單位可得y=sin(x-

π

3

)，再保持縱坐標不變，橫坐標變為原來的

1

2

，得到函數y=sin（2x-

π

3

）的圖象，正確；
③x∈[0，

π

6

]，可得(2x+

π

3

)∈[

π

3

，

2π

3

]，因此函數f（x）=sin（2x+

π

3

）在[0，

π

6

]上不為增函數，不正確；
④橢圓

x2

m

+

y2

4

=1的焦距為2，則4-m=1或m-4=1，解得m=3或5．因此不正確．
綜上可得：只有②正確．
故選：D．

點評：本題考查了簡易邏輯的判定、圓的一般式、三角函數變換及其單調性、橢圓的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．