Question

某個公園有個池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．

(1)現在準備養一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點D，E，F，如圖(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF 面積S_△DEF的最大值；
(2)現在準備新建造一個荷塘，分別在AB，BC，CA上取點D，E，F，如圖(2)，建造△DEF
連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，求△DEF邊長的最小值．

Answer 1

（1）；（2）百米．

解析試題分析：（1）求△DEF 面積S_△DEF的最大值，先把△DEF 面積用一個參數表示出來，由于它是直角三角形，故只要求出兩直角邊DE和EF，直角△ABC中，可得，由于EF‖AB，EF⊥ED，那么有，因此我們可用CE來表示FE，DE．從而把S_△DEF表示為CE的函數，然后利用函數的知識（或不等式知識）求出最大值；（2）．等邊△DEF可由兩邊EF＝ED及確定，我們設，想辦法也把與一個參數建立關系式，關鍵是選取什么為參數，由于等邊△DEF位置不確定，我們可選取為參數，建立起與的關系．，則，中應用正弦定理可建立所需要的等量關系．
試題解析：（1）中，，百米，百米．
，可得，
，，
設，則米，
中，米，C到EF的距離米，
∵C到AB的距離為米，
∴點D到EF的距離為米，
可得，
∵，當且僅當時等號成立，
∴當時，即E為AB中點時，的最大值為．   7分
（2）設正的邊長為，，
則，
設，可得
，，
∴．
在中，，
即，化簡得，     12分
（其中是滿足的銳角），
∴邊長最小值為百米．     14分
考點：（1）面積與基本不等式；（2）邊長與三角函數的最值．