Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D為棱CC₁上任意一點，E為BC中點，F為B₁C₁的中點，證明：
（1）A₁F∥平面ADE；
（2）平面ADE⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

證明：（1）連接EF，∵E、F分別為BC、B₁C₁的中點，∴BE∥B₁F，且BE=B₁F，
∴四邊形BEFB₁為平行四邊形，
∴EF∥BB₁，EF=BB₁，又BB₁∥AA₁，BB₁=AA₁，
∴EF∥AA₁，EF=AA₁
∴四邊形AEFA₁為平行四邊形，∴AE∥A₁F，
又AE?平面ADE，A₁F?平面ADE，
∴A₁F∥平面ADE．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∵E為BC的中點，∴AE⊥BC，
∴AE⊥平面BCC₁B₁，又AE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCC₁B₁