Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F，直線x=

a2

c

與其漸近線交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF為鈍角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：解三角形,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先通過(guò)聯(lián)立方程組求出A，B坐標(biāo)，根據(jù)△ABF為鈍角三角形得到∠AFB＞90°，可知∠AFD＞45°，即DF＜DA再分別求出DF與DA長(zhǎng)度，用含a，c的式子表示，
因?yàn)殡x心率等于

c

a

，即可求出離心率的范圍．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±

b

a

x，
聯(lián)立方程組

y=± b a x x2 a2 - y2 b2 =1

，解得A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，-

ab

c

），
設(shè)直線x=

a2

c

與x軸交于點(diǎn)D
∵F為雙曲線的右焦點(diǎn)，∴F（C，0）
∵△ABF為鈍角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA
∴c-

a2

c

＜

ab

c

，b＜a，c²-a²＜a²
∴c²＜2a²，e²＜2，e＜

2

又∵e＞1
∴離心率的取值范圍是1＜e＜

2

故答案為：1＜e＜

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的離心率的范圍的求法，關(guān)鍵是找到含a，c的齊次式，再解不等式．