Question

已知曲線C：f（x）=2xe^ax-ax²-1．
（Ⅰ）求函數f（x）在（0，f（0））處的切線；
（Ⅱ）當a=-1時，求曲線C與直線y=2x-1的交點個數；
（Ⅲ）若a＞0，求證：函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,根的存在性及根的個數判斷,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數，求出切點，和切線的斜率，寫出切線方程；
（Ⅱ）寫出a=-1的函數式，曲線C與直線y=2x-1的交點個數與方程x（2e^-x+x-2）=0的解的個數相同，構造函數g（x）=2e^-x+x-2，求出導數，應用單調性求出極值、最值，應用零點存在定理即可判斷；
（Ⅲ）通過導數，判斷a＞0時的函數f（x）的單調性，注意應用指數函數的單調性，即可證明．

解答： 解：（Ⅰ）f（0）=-1，
∵f′（x）=（2ax+2）e^ax-2ax，
∴f′（0）=2，
∴函數f（x）在（0，f（0））處的切線為y=2x-1．

（Ⅱ）當a=-1時，f（x）=2xe^-x+x²-1，
曲線C與直線y=2x-1的交點個數與方程x（2e^-x+x-2）=0的解的個數相同，
x=0顯然是該方程的一個解．
令g（x）=2e^-x+x-2，則g′（x）=-2e^-x+1，
由g'（x）=0得x=ln2
∵x＜ln2時，g′（x）＜0；
x＞ln2時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增．
∴g（x）最小值為g（ln2）=ln2-1，
∵ln2＜lne=1，
∴g（ln2）＜0，
∵g（0）=0，g（2）=2e^-2＞0，
∴g（x）的零點一個是0，一個大于ln2，
∴兩曲線有兩個交點．

（Ⅲ）證明：f′（x）=2[（ax+1）e^ax-ax]
∵a＞0，
∴當x＞0時，ax＞0，
∴ax+1＞1，e^ax＞1，
∴f′（x）=2[（ax+1）e^ax-ax]＞2[（ax+1）-ax]=2＞0，
∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

點評：本題主要考查導數在函數中的應用：求切線方程，求單調區間，求極值和最值，通過單調性證明，是一道中檔題．