Question

設g（x）=px-

q

x

-2f（x），其中f（x）=lnx，且g（e）=qe-

p

e

-2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求p與q的關系；
（2）若g（x）在其定義域內為單調函數(shù)，求p的取值范圍；
（3）若a∈R，試討論方程f（x）=x+a的解的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意得出等式解方程即可；（2）先求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，再通過討論p的范圍綜合得出 結論；（3設h(x)=lnx-x-a，h′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
從而得出x=1為h（x）的極大值點，所以h（x）≤h（1）=-1-a．再分別討論a范圍，求出函數(shù)的解的個數(shù)．

解答： 解：（1）由題意g(x)=px-

q

x

-2lnx，
得g(e)=pe-

q

e

-2，又g(e)=qe-

p

e

-2，
∴pe-

q

e

-2=qe-

p

e

-2，
∴（p-q）e+（p-q）

1

e

=0
∴（p-q）（e+

1

e

）=0，
∴p=q，
（2）由（1）知：g(x)=px-

p

x

-2lnx，
顯然，g（x）的定義域為（0，+∞）.g′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

，
令h（x）=px²-2x+p．要使g（x）在（0，+∞）為單調函數(shù)，只需h（x）在（0，+∞）滿足：h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①p=0時，h（x）=-2x，
∵x＞0，
∴h（x）＜0，
∴g（x）=-

2x

x2

＜0
∴g（x）在（0，+∞）單調遞減，∴p=0適合題意．
②當p＞0時，
h（x）=px²-2x+p圖象為開口向上拋物線，對稱軸為x=

1

p

∈（0，+∞）．
∴h（x）_min=h(

1

p

)=p-

1

p

．只需p-

1

p

≥0，
即p≥1時h（x）≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）單調遞增，∴p≥1適合題意．
③當p＜0時，h（x）=px²-2x+p圖象為開口向下的拋物線，其對稱軸為x=

1

p

∉（0，+∞），
只需h（0）≤0，即p≤0時h（0）≤（0，+∞）恒成立．
∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）單調遞減，
∴p＜0適合題意．綜上①②③可得，p≥1或p≤0．
（3）設h(x)=lnx-x-a，h′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，x∈（0，+∞）．當x∈（0，1）時，h′（x）＞0，∴h（x）為單調增函數(shù)；當x∈（1，∞）時，h′（x）＜0，∴h（x）為單調減函數(shù)；
∴x=1為h（x）的極大值點，
∴h（x）≤h（1）=-1-a．
①若-1-a＜0，即a＞-1，h（x）=0無解；
②若-1-a=0，即a=-1，h（x）=0有一解x=1；
③若-1-a＞0，即a＜-1，h（1）＞0．在0＜x≤1上h（x）為單調增函數(shù)，
且h（e^a）=a-e^a-a＜0，h（x）=0在0＜x＜1上有一解；
在x≥1上h（x）為單調減函數(shù)，且h（e^-a）=-2a-e^-a=-（2a+e^-a），
設r（x）=2x+e^-x（x＜-1），
則r'（x）=2-e^-x＞0，r（x）＞r（-1）=-2+e＞0．
∴h（e^-a）=-2a-e^-a=-（2a+e^-a）＜0，h（x）=0在x≥1上有一解．
即a＜-1，h（x）=0有兩解．
綜合知，a＞-1時，h（x）=0無解；
a=-1時，h（x）=0有一解；
a＜-1時，h（x）=0有兩解．

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．