Question

已知復數z₁=，z₂=2+（3a+1）i（a∈R，i是虛數單位）．
（1）若復數z₁-z₂在復平面上對應點落在第一象限，求實數a的取值范圍；
（2）若虛數z₁是實系數一元二次方程x²-6x+m=0的根，求實數m值．

Answer 1

解：（1）由條件得，z₁-z₂=（）+（a²-3a-4）i…（2分）
因為z₁-z₂在復平面上對應點落在第一象限，故有…（4分）
∴解得-2＜a＜-1…（6分）
（2）因為虛數z₁是實系數一元二次方程x²-6x+m=0的根
所以z₁+==6，即a=-1，…（8分）
把a=-1代入，則z₁=3-2i，=3+2i，…（10分）
所以m=z₁•=13…（12分）
分析：（1）由題設條件，可先通過復數的運算求出的代數形式的表示，再由其幾何意義得出實部與虛部的符號，轉化出實數a所滿足的不等式，解出其取值范圍；
（2）實系數一元二次方程x²-6x+m=0的兩個根互為共軛復數，利用根與系數的關系求出a的值，從而求出m的值．
點評：本題考查復數的代數形式及其幾何意義，解題的關鍵是根據復數的代數形式的幾何意義得出參數所滿足的不等式，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．