Question

已知雙曲線y²-

x2

3

=1的兩個焦點為F₁、F₂，若A、B分別為漸近線l₁、l₂上的點，且2|AB|=5|F₁F₂|．求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明是什么曲線？

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，建立方程，根據A、B分別為l₁、l₂上的點，化簡可得軌跡方程及對應的曲線．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y）
∵2|AB|=5|F₁F₂|，∴|AB|=

5

2

|F₁F₂|=10，∴

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=10
∵y₁=

3

3

x₁，y₂=-

3

3

x₂，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂
∴y₁+y₂=

3

3

（x₁-x₂），y₁-y₂=

3

3

（x₁+x₂），
∴3×(2y)2+

1

3

×(2x)2=100
∴

x2

75

+

3y2

25

=1，對應的曲線為橢圓．

點評：本題考查軌跡方程的求解，考查雙曲線的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．