Question

若函數y=f（x）滿足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少有三個不同的數成等差數列，則稱函數f（x）是“等差源函數”，則下列四個函數中，“等差源函數”的個數是（　　）
①y=2x+1；
②y=log₂x；
③y=2^x+1；
④y=sin（

π

4

x+

π

4

）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：利用新定義，進行驗證即可得出結論．

解答：解：①y=2x+1，n∈N^*，是等差源函數；
②∵log₂1，log₂2，log₂4構成等差數列，∴y=log₂x是等差源函數；
③y=2^x+1不是等差源函數，因為若是，則2（2^p+1）=（2^m+1）+（2ⁿ+1），則2^p+1=2^m+2ⁿ，
∴2^p+1-n=2^m-n+1，左邊是偶數，右邊是奇數，故y=2^x+1不是等差源函數；
④y=sin（

π

4

x+

π

4

）是周期函數，顯然是等差源函數．
故選：C．

點評：本題考查等差源函數的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意反證法的合理運用．