Question

【題目】已知數列的前項和為，數列是首項為0，公差為的等差數列.

（1）求數列的通項公式；

（2）設，對任意的正整數，將集合中的三個元素排成一個遞增的等差數列，其公差為，求證：數列為等比數列；

（3）對（2）中的，求集合的元素個數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）根據等差數列的通項公式,即可求得答案;

（2）由（1）,求得,根據 且 成等差數列,即可求得,即可求證數列為等比數列;

（3）要求集合中整數的個數,關鍵是求出與的特征,的特征與的奇偶性有關,可運用二項式定理研究其性質,當為奇數時,,同樣可得,則集合的元素個數為.同樣求出為偶數時的個數即可.

（1） 數列的前項和為,數列是首項為,公差為的等差數列

,

當時,

當時,

綜上所述,,.

（2）由（1）

則

且 成等差數列,

為常數,

為等比數列.

（3）①當為奇數時

同理可得,

則集合的元素個數為

②當為偶數時,同理可得的元素個數為

綜上所述,集合的元素個數:.