Question

【題目】如圖，在海岸線l一側(cè)P處有一個(gè)美麗的小島，某旅游公司為方便登島游客，在l上設(shè)立了M，N兩個(gè)報(bào)名接待點(diǎn)，P，M，N三點(diǎn)滿足任意兩點(diǎn)間的距離為公司擬按以下思路運(yùn)作：先將M，N兩處游客分別乘車集中到MN之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)Q處點(diǎn)Q異于M，N兩點(diǎn)，然后乘同一艘游輪由Q處前往P島據(jù)統(tǒng)計(jì)，每批游客報(bào)名接待點(diǎn)M處需發(fā)車2輛，N處需發(fā)車4輛，每輛汽車的運(yùn)費(fèi)為20元，游輪的運(yùn)費(fèi)為120元設(shè)，每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到P島所需的運(yùn)輸總成本為T元．

寫出T關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍；

問：中轉(zhuǎn)點(diǎn)Q距離M處多遠(yuǎn)時(shí)，T最小？

Answer 1

【答案】（1），其中；（2）

【解析】

利用正弦定理求得，，則，

由利潤(rùn)與運(yùn)費(fèi)的關(guān)系可求出函數(shù)的解析式； 由（1）可得，其中，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求解函數(shù)的最值即可．

由題知在中，，

，，，

由正弦定理知，

即，，

則，

由題意可得，

，其中，

由，其中得，

，令解得，

，存在唯一的，使得，

當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)S在區(qū)間上為單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)S在區(qū)間上為單調(diào)遞增，

故當(dāng)即時(shí)，T最小，

則，

答：當(dāng)中轉(zhuǎn)點(diǎn)Q距離M處時(shí)，S最小.