Question

【題目】已知函數的定義域是，且，，當時，.

（1）判斷的奇偶性，并說明理由；

（2）求在區間上的解析式；

（3）是否存在整數，使得當時，不等式有解？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）奇函數，理由見詳解；（2）；（3）；證明過程見詳解.

【解析】

（1）根據得到，再由推出，根據函數奇偶性的概念，即可得出結果；

（2）令，則，根據題中條件，得到，求出；得到，再由函數周期性，即可得出結果；

（3）先將不等式化為，得到要使時，不等式有解，只需不等式在上有解即可，令，根據二次函數的性質，分別討論，，三種情況，即可得出結果.

（1）因為函數的定義域是，關于原點對稱；

由得，即函數由為周期，

所以，

由得，

所以函數是奇函數；

（2）當時，，因為時，，

所以，又，所以；

當時，，所以；

因此由（1）可得：；

（3）由（2）可得，不等式可化為，

即；

因此，要使時，不等式有解，

只需不等式在上有解即可，

令，

當，即時，函數在單調遞減，

所以只需，解得，

所以，又為整數，所以舍去；

當，即時，函數在單調遞增，

所以只需，

解得：，所以，又為整數，所以；

當，即時，取不到整數，不滿足題意，故舍去；

綜上，存在整數，使得當時，不等式有解.