Question

【題目】數列是公比為正數的等比數列，，；數列前項和為，滿足，.

（1）求，及數列，的通項公式；

（2）求.

Answer 1

【答案】（1），，，，，，（2），

【解析】

（1）方法一：（數列定義）易知，可得，故，；，，，則，，兩式相減得，則，，同理兩式相減得，，則為等差數列，故，.

（1）方法二：（數學歸納法）

同方法一，猜想，，然后再利用數學歸納法證明.

（2）方法一：利用錯位相減法求和，由（1）可知，，則，兩式相減整理得， ，.

（2）方法二：利用裂項求和，由（1）可知，注意到，再采用裂項相消法求和.

（1）方法一：（數列定義）

易知，解得或，又公比為正數，則，故，；，，，則，，兩式相減得，則，，同理兩式相減得，（注：，也符合），則為等差數列，故，.

（1）方法二：（數學歸納法）

易知，解得或，又公比為正數，則，故，；，，猜想，，用數學歸納法證明.

①當時，成立；

②假設當時，成立，

當時，，則，即，故當時，結論也成立.由①②可知，對于任意的，均成立.

（2）方法一：（錯位相減法求和）

由（1）可知，，

則，兩式相減整理得，

，.

（2）方法二：（裂項求和）

由（1）可知，注意到，

故，.