Question

若一個數列各項取倒數后按原來的順序構成等差數列，則稱這個數列為調和數列．已知數列是調和數列，對于各項都是正數的數列，滿足．
（Ⅰ）證明數列是等比數列；

（Ⅱ）把數列中所有項按如圖所示的規律排成一個三角形
數表，當時，求第行各數的和；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數列，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）
（Ⅲ）見解析

（Ⅰ）證明：因為，且數列中各項都是正數，
所以．
設，  ①
因為數列是調和數列，故，．
所以，．  ②
由①得，代入②式得，
所以，即.
故，所以數列是等比數列．      …………………………5分
（Ⅱ）設的公比為，則，即．由于，故．
于是．
注意到第行共有個數，
所以三角形數表中第1行至第行共含有個數.
因此第行第1個數是數列中的第項.
故第行第1個數是，
所以第行各數的和為． ………… 9分
（Ⅲ）因為，所以.
所以．
又，
，
所以
.
所以．  ………………………14分