Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x²-3）
（1）討論函數(shù)的y=f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)x₁，x₂為區(qū)間[0，1]上任意兩個自然數(shù)的值，證明|f（x₁）-f（x₂）|＜e．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問題轉(zhuǎn)化為|f（x₁）-f（x₂）|≤f（0）-f（1）=2e-3，又2e-3-e=e-3＜0，即2e-3＜e，從而證得結(jié)論．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-3），（1，+∞）遞增，在（-3，1）遞減；
（2）∵函數(shù)f（x）在[0，1]遞減，且f（0）=-3，f（1）=-2e，
則|f（x₁）-f（x₂）|≤f（0）-f（1）=2e-3，
又2e-3-e=e-3＜0，即2e-3＜e，
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜e．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了不等式的證明，是一道中檔題．