Question

以雙曲線

x2

3

-y²=1左焦點F，左準線l為相應焦點，準線的橢圓截直線y=kx+3所得弦恰被x軸平分，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的焦點和左準線方程，設出橢圓方程，聯(lián)立直線方程消去y，得到x的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，求出直線和x軸的交點，得到方程求出中點坐標，再由橢圓中心（m，0）在F的左側，解不等式即可得到k的范圍．

解答： 解：雙曲線

x2

3

-y²=1的左焦點為（-2，0），左準線l：x=-

3

2

，
可設橢圓

(x-m)2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
與直線y=kx+3聯(lián)立，消去y得：
（b²+a²k²）x²-2（b²m-3a²k）x+9a²-a²b²=0，
△＞0時得x₁+x₂=

2(b2m-3a2k)

b2+a2k2

，
則弦的中點的橫坐標為

b2m-3a2k

b2+a2k2

，
又直線y=kx+3與x軸交于點（-

3

k

，0），
據(jù)題設知：-

3

k

=

b2m-3a2k

b2+a2k2

，
解得m=-

3

k

，
而橢圓中心（m，0）在F的左側，
∴m=-

3

k

＜-2，
解得0＜k＜

3

2

．
故答案為：（0，

3

2

）．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查橢圓方程和直線方程聯(lián)立，運用韋達定理，以及中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．