Question

已知函數f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

，其定義域為（-1，1）．
（1）求f（

1

2014

）+f（-

1

2014

）的值；
（2）判斷函數f（x）在定義域上的單調性并給出證明．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的定義域及其求法,函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：（1）用定義判斷函數f（x）是定義域（-1，1）上的奇函數，從而求出f（

1

2014

）+f（-

1

2014

）的值；
（2）用單調性的定義判斷并證明函數f（x）在定義域上的單調性．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

，定義域為（-1，1）；
∴任取x∈（-1，1），
有f（-x）=x+log₂

1+x

1-x

=x-log₂

1-x

1+x

=-f（x），
∴f（x）是定義域（-1，1）上的奇函數；
∴f（

1

2014

）+f（-

1

2014

）=0；
（2）函數f（x）在定義域（-1，1）上是減函數；
證明如下：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=（-x₁+log₂

1-x1

1+x1

）-（-x₂+log₂

1-x2

1+x2

）
=（x₂-x₁）+log₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

=（x₂-x₁）+log₂

1-x1x2+x2-x1

1-x1x2+x1-x2

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₂-x₁＞0，
∴1-x₁x₂+x₂-x₁＞1-x₁x₂+x₁-x₂＞0，
∴log₂

1-x1x2+x2-x1

1-x1x2+x1-x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）是定義域（-1，1）上的減函數．

點評：本題考查了用定義來判斷和證明函數的單調性與奇偶性的問題，是基礎題目．