Question

在△ABC中，射影定理可以表示為a=bcosC+ccosB，其中a，b，c依次為角A、B、C的對邊．類比以上定理，如圖，在四面體P-ABC中，S₁、S₂、S₃、S分別表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面積，α、β、γ依次表示面PAB、面PBC、面PCA與底面ABC所成角的大小，我們猜想將射影定理類比推廣到三維空間，其表現形式應為

 

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Answer 1

考點：類比推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：這是一個類比推理的題，在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質類比推理到線的性質，由線的性質類比推理到面的性質，即可得出結論．

解答： 解：由已知在平面幾何中，在△ABC中，如果點A在BC邊上的射影是D，△ABC的三邊BC、AC、AB的長依次是a、b、c，則a=b•cosC+c•cosb，
我們可以類比這一性質，推理出：
若四面體P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面積依次為S、S₁、S₂、S₃，
二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度數依次為α、β、γ，則S=S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ．
故答案為：S=S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ．

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．