Question

已知函數f（x）=

1

x

+

1

x2

+

1

x3

．
（I）求y=f（x）在[-4，-

1

2

]上的最值；
（II）若a≥0，求g（x）=

1

x

+

2

x2

+

a

x3

的極值點．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導可判斷f′（x）=-

x2+2x+3

x4

＜0恒成立，從而求最值；
（Ⅱ）求導g′（x）=-

x2+4x+3a

x4

，令u=x²+4x+3a，從而得到△=16-12a；從而討論函數的極值點即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-

x2+2x+3

x4

＜0恒成立，故f（x）在[-4，-

1

2

]遞減；
所以最大值為f（-4）=-

13

64

，最小值為f（-

1

2

）=-6；
（Ⅱ）∵g（x）=

1

x

+

2

x2

+

a

x3

，∴g′（x）=-

x2+4x+3a

x4

，令u=x²+4x+3a，
△=16-12a；
當a≥

4

3

時，△=16-12a≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）沒有極值點；
當0＜a＜

4

3

時，x₁=-2-

4-3a

，x₂=-2+

4-3a

＜0；
故函數的減區間為（-∞，-2-

4-3a

），（-2+

4-3a

，0）（0，+∞），增區間：（-2-

4-3a

，-2+

4-3a

），
故g（x）有極小值點-2-

4-3a

，極大值點-2+

4-3a

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及分類討論的思想應用，屬于中檔題．