Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

（2）已知點(diǎn)，長(zhǎng)為的線(xiàn)段PQ的兩端點(diǎn)在軌跡C上滑動(dòng)．當(dāng)軸是的角平分線(xiàn)時(shí)，求直線(xiàn)PQ的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）設(shè)圓心，線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為E，由圓的性質(zhì)得，

結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解．

（2）當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，由x軸平分，得，設(shè)直線(xiàn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，進(jìn)而解得，得出直線(xiàn)的方程；當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí)，取得直線(xiàn)PQ的方程為．

（1）由題意，動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，

設(shè)圓心，線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為E，連接，則，

則由圓的性質(zhì)得，所以，

所以，整理得．

當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足上式，

所以動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為．

（2）設(shè)，，由題意可知，．

（ⅰ）當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，，，

由x軸平分，得，

所以，所以，整理得，

設(shè)直線(xiàn)，代入C的方程得：．

則，所以，解得，

由于，解得，

因此直線(xiàn)PQ的方程為．

（ⅱ）當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí)，，可得直線(xiàn)PQ的方程為．

綜上，直線(xiàn)PQ的方程為或．