Question

（本小題滿分12分）
如圖某市現有自市中心O通往正西和北偏東30°方向的兩條主要公路，為了解決該市交通擁擠問題，市政府決定修建一條環城公路．分別在通往正西和北偏東30°方向的公路上選用A、B兩點，使環城公路在A、B間為直線段，要求AB路段與市中心O的距離為10 km，且使A、B間的距離|AB|最小．請你確定A、B兩點的最佳位置．

Answer 1

如圖，令|OA|＝a，|OB|＝b，則在△AOB中，∠AOB＝120°. …………2分
∴|OC||AB|＝absin120°.
∴|AB|＝.　　　① …………………………………………………………4分
又由余弦定理，
|②     …………………6分
由①②知≥3ab.                               
∵ab＞0，∴ab≥400　　　③   ……………………………………………8分
③代入①得|AB|＝≥20．
當a＝b時|AB|取得最小值．…………………………………………………10分
而a＝b時，△AOB為等腰三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°.
∴a＝b＝20.
∴A、B兩點的最佳位置是距市中心O均為20km處.  ………………………12分

解析