Question

【題目】已知雙曲線 （a＞0，b＞0）的離心率為 ，虛軸長為4．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）過點（0，1），傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A、B兩點，O為坐標原點，求△OAB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意可得 ，

解得 ，

∴雙曲線的標準方程為 ．

（2）解：直線l的方程為y=x+1，

設A（x1，y1）、B（x2，y2），

由 可得3x2﹣2x﹣5=0，

由韋達定理可得 ， ，

即 ，

原點到直線l的距離為 ，

于是 ，

∴△AOB的面積為 ．

【解析】（1）運用雙曲線的離心率公式和a，b，c的關系，解方程即可得到a=1，b=2，進而得到雙曲線的方程；（2）直線l的方程為y=x+1，代入雙曲線的方程，設A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），運用韋達定理和弦長公式，以及點到直線的距離公式，由三角形的面積公式計算即可得到所求值．