Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．

（1）證明：AC1⊥A1B；
（2）設(shè)直線AA1與平面BCC1B1的距離為 ，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A1D⊥平面ABC，A1D平面AA1C1C，

∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC

∴BC⊥平面AA1C1C，連結(jié)A1C，

由側(cè)面AA1C1C為菱形可得AC1⊥A1C，

又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，

∴AC1⊥平面A1BC，AB1平面A1BC，

∴AC1⊥A1B；

（2）解：∵BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，

∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，

作A1E⊥CC1，E為垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，

又直線AA1∥平面BCC1B1，

∴A1E為直線AA1與平面BCC1B1的距離，即A1E= ，

∵A1C為∠ACC1的平分線，∴A1D=A1E= ，

作DF⊥AB，F(xiàn)為垂足，連結(jié)A1F，

又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，

∴AB⊥平面A1DF，∵A1F平面A1DF

∴A1F⊥AB，

∴∠A1FD為二面角A1﹣AB﹣C的平面角，

由AD= =1可知D為AC中點，

∴DF= = ，

∴tan∠A1FD= = ，

∴二面角A1﹣AB﹣C的大小為arctan

【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)可得；（2）作輔助線可證∠A1FD為二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函數(shù)可得．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行．