Question

【題目】（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范圍；
（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求證： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2 ，
則|2x+3y| ，
∴﹣ ≤2x+3y≤ ．
（Ⅱ）證明：由a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，得（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2=3，
由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2
得證：18≥（2a﹣b﹣c）2 ， 所以
【解析】（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2 ， 即可求2x+3y的取值范圍；（Ⅱ）由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2 ， 即可證明結論．
【考點精析】利用不等式的證明對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．