Question

如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，點N為CD中點，PA⊥平面ABCD．
（I）求證：CD⊥平面PAN；
（II）若點M為PC中點，AB=1，PA=

3

，求直線AM與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）要證CD⊥平面PAN，可由PA⊥平面ABCD得出CD⊥PA；△ACD為正三角形，點N為CD中點，得出CD⊥AN，且PA∩AN=A而證出．
（II）過A作AH⊥PN于H，則AH⊥平面PCD，連接MH，則∠AMH為直線AM與平面PCD所成角．在RT△AMH中求解即可．

解答：（I）證明：因為四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，所以△ACD為正三角形，所以AC=AD，又因為點N為CD中點，所以CD⊥AN．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．PA∩AN=A，∴CD⊥平面PAN．
（II）由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAN，CD?平面PCD，∴平面PAN⊥平面PCD，且平面PAN∩平面PCD=PN，
過A作AH⊥PN于H，則AH⊥平面PCD，連接MH，則∠AMH為直線AM與平面PCD所成角．
在RT△PAN中，PA=

3

，AN=

3

2

，由勾股定理得出PN=

15

2

，根據面積相等法得AH=

PA•AN

PN

=

15

5

．
在RT△PAC中，AM=

1

2

PC=

1

2

PA2+AC2

=1，
在RT△AMH中，sin∠AMH=

AH

AM

=

15 5

1

=

15

5

．即直線AM與平面PCD所成角的正弦值是

15

5

．

點評：本題考查直線和平面位置關系的判斷，線面角求解．考查空間想象、推理論證、轉化、計算能力．