Question

如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中點，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，AD=2，AM=

3 7

7

．
（1）求證：AC⊥BN；
（2）求證：AN∥平面MEC；
（3）求二面角M-EC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）通過連接BD，證明AC⊥平面NDB，利用BN?平面NDB，從而證明AC⊥BN；
（2）利用CM與BN交于F，連接EF．證明AN∥EF，通過直線與平面平行的判定定理證明AN∥平面MEC；
（3）通過建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，設平面MEC的法向量為

n

=（x，y，z）．利用

CE •n=0 EM •n=0.

求出向量

n

，求出平面ADE的法向量

m

，利用cosθ=

m • n

| m || n |

，求出二面角M-EC-D的大小．

解答：（共14分）
解：（1）證明：連接BD，則AC⊥BD．
由已知DN⊥平面ABCD，
因為DN∩DB=D，
所以AC⊥平面NDB．…（2分）
又因為BN?平面NDB，
所以AC⊥BN．…（4分）
（2）CM與BN交于F，連接EF．
由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形，
所以F是BN的中點．
因為E是AB的中點，
所以AN∥EF．…（7分）
又EF?平面MEC，AN?平面MEC，
所以AN∥平面MEC．…（9分）
（3）由于四邊形ABCD是菱形，E是AB的中點，可得DE⊥AB．
如圖建立空間直角坐標系D-xyz，則D（0，0，0），E(

3

，0，0)，C（0，2，0），
M(

3

，-1，

3 7

7

).

CE

=(

3

，-2.0)，

EM

=(0，-1，

3 7

7

)．…（10分）

EM

=(0，-1，

3 7

7

)，
設平面MEC的法向量為

n

=（x，y，z）．
則

CE •n=0 EM •n=0.

所以

3 x-2y=0 y- 3 7 7 z=0.

令x=2．
所以

n

=(2，

3

，

21

3

)．…（12分），
又平面ADE的法向量

m

=（0，0，1），
所以．cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

2

．
 所以二面角M-EC-D的大小是60°．…（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的性質，直線與平面平行的判斷，二面角的求法，考查空間想象能力與計算能力．