Question

如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，E、F分別是AB與PD的中點．
（Ⅰ）求證：PC⊥BD；
（Ⅱ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）由于AC是斜線PC在平面ABCD上的射影，故可利用三垂線定理，轉化為證明：AC⊥BD
（2）要證明AF∥平面PEC，關鍵是要找到平面PEC中與AF平行的直線
（3）要求二面角的大小，要先求出二面角的平面角，然后轉化為解三角形問題．

解答：解：（I）連接AC，則AC⊥BD．
∵PA⊥平面ABCD，AC是斜線，
PC在平面ABCD上的射影，
∴由三垂線定理得PC⊥BD．

（II）取PC的中點K，連接FK、EK，
則四邊形AEKF是平行四邊形，
∴AF∥EK，又EK?平面PEC，
AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．

（III）延長DA、CE交于M，過A作AH⊥CM于H，
連接PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM．
∴∠PHA為所求二面角P-EC-D的平面角．
∵E為AB的中點，AE∥CD，∴AM=AD=2．
在△AME中，∠MAE=120°，
由余弦定理得EM²=AM²+AE²-2AM•AEcos120°=7，
∴EM=

7

，又S△AEM=

1

2

AH•AE•sin120°，
∴AH=

3

7

，
∴tanPHA=

PA

AH

=

2 21

3

．
∴二面角P-EC-D的大小為arctan

2 21

3

點評：線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．垂直問題的證明，其一般規律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據已知條件去思考有關的性質定理；根據要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來．
判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a∥α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質（α∥β，a?β，a∥α?a∥β）．