Question

已知點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0），O是坐標原點，P是線段AB的中點，若C是點A關于原點的對稱點，Q是線段BC的中點，且|OP|=|OQ|，設圓M的方程為x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0．
（1）證明：線段AB是⊙M的直徑；
（2）若存在非零正實數p使2p（x₁+x₂）=y₁²+y₂²+8p²+2y₁y₂，且⊙M的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為

2 5

5

，求p的值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：對第（1）問，由圓M的一般式方程知，圓M過坐標原點O，要證線段AB是圓M的直徑，只需證OA⊥OB即可，轉化為證x₁x₂+y₁y₂=0．寫出P，Q的坐標，由|OP|=|OQ|，得x₁，x₂，y₁，y₂的關系式，化簡即可達到目的．
對第（2）問，先表示圓心P到直線x-2y=0的距離d，由2p（x₁+x₂）=y₁²+y₂²+8p²+2y₁y₂，得到x₁+x₂的表達式，代入距離公式中，可探求d的最小值的表達式，最后根據dmin=

2 5

5

建立關于p的方程，從而得p的值．

解答： 解：（1）證明：∵P是線段AB的中點，∴P點坐標為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．
∵C是點A關于原點的對稱點，∴C點坐標為（-x₁，-y₁），
又Q是線段BC的中點，得Q點的坐標為(

x2-x1

2

，

y2-y1

2

)，
由|OP|=|OQ|，得(

x1+x2

2

)2+(

y1+y2

2

)2=(

x2-x1

2

)2+(

y2-y1

2

)2，
化簡得x₁x₂+y₁y₂=0，即

OP

•

OQ

=0，得OA⊥OB，
由方程x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0知，圓M過坐標原點O，且圓心為P，
∴線段AB是圓M的直徑，得證．
（2）由2p（x₁+x₂）=y₁²+y₂²+8p²+2y₁y₂，得x1+x2=

y 2 1 + y 2 2 +8p2+2y1y2

2p

，
從而⊙M的圓心P到直線x-2y=0的距離d=

| x1+x2 2 -(y1+y2)|

5

=

| (y1+y2)2+8p2 4p -(y1+y2)|

5

=

[(y1+y2)-2p]2+4p2

4 5 p

≥

4p2

4 5 p

=

p

5

（p＞0），
由題意，d的最小值為

2 5

5

，∴

p

5

=

2 5

5

，得p=2．

點評：本題考查了圓的一般式方程的形式特點及點到直線的距離公式，關鍵是充分利用已知條件進行消參、化簡，將距離的最小值轉化為函數的最小值問題．難點是對距離 最小值的理解，點到直線的距離是該點到直線上所有點的連線段的最小值，而此最小值是變量，本題實質上涉及到最小值的最小值問題．