Question

求函數y=sinx-

1 2-sinx

的值域．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的值域

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：設t=

1 2-sinx

，則sinx=2-

1

t2

，t∈[

3

3

，1]，函數g（t）=2-

1

t2

-t，t∈[

3

3

，1]，利用導數求解即可．

解答： 解：∵函數y=sinx-

1 2-sinx

，
∴設t=

1 2-sinx

，則sinx=2-

1

t2

，t∈[

3

3

，1]，
∴函數g（t）=2-

1

t2

-t，t∈[

3

3

，1]，
∵g′（t）=

2-t3

t3

＞0，
∴函數g（t）=2-

1

t2

-t，在t∈[

3

3

，1]單調遞增．
∴g（1）=0，g（

3

3

）=-

3

3

-1，
∴值域為[-

3

3

-1，0]．

點評：本題考查了運用換元法，導數，求解函數的單調性，值域，屬于中檔題，關鍵是換元的新元的范圍．