Question

已知二次函數f（x）=x²+bx+c對于任意的實數x都有f（1+x）=f（1-x）成立，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-ax在x∈[3，6]上單調，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先由f（1+x）=f（1-x）得對稱軸為x=1，求出b，然后由f（0）=3求出c，代入函數解析式即可，（2）將（1）中f（x）=x²-2x+3代入g（x）得出其解析式，并求出對稱軸，然后由函數g（x）在x∈[3，6]上單調，則對稱軸在區間左側或右側，得不等式，求解即可．

解答： 解；（1）由函數對于任意的實數x都有f（1+x）=f（1-x）成立得對稱軸為x=1，
故-

b

2

=1⇒b=-2，
又∵f（0）=3，
∴c=3，
∴f（x）=x²-2x+3；
（2）根據題意由g（x）f（x）-ax=x²-（a+2）x+3，其圖象對稱軸為x=

a+2

2

，
若g（x）在x∈[3，6]上單調，則有

a+2

2

≤3或

a+2

2

≥6，
解得a≤4或a≥10．

點評：本題考查二次函數的基本性質，主要是對稱軸和在閉區間上的單調性問題，屬于中檔題目．