Question

【題目】如圖，在圓內接等腰梯形中，已知，對角線、交于點，且圖中各條線段長均為正整數，，圓的半徑．

（1）求證：圖中存在一個三角形，其三邊長均為質數且組成等差數列；

（2）若給圖中的線（包括圓、梯形、梯形的對角線）作點染色，使、、染上紅色，其他點染上紅藍色之一，求證：圖中存在三個同色點，兩兩距離相等且長度為質數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）在中，，外接圓半徑為．由正弦定理得

．

在中，由，，知為最長邊．故、只能取之間的整數，即，，，，，．

在中，應用余弦定理得 ．

把、的可能取值代入驗證知、只能取3、5．故存在，其三邊長3、5、7均為質數，且組成一個公差為2的等差數列．

（2）在圓內接等腰梯形中，對用外角定理、圓周角定理得

．

從而，、均為正三角形．

又由，有．

故的三邊長為，，，是邊長為3的正三角形，是邊長為5的正三角形．

以為底邊作等腰．

由，知是邊長為7的正三角形．

同理，可作邊長為7的正．

如圖，聯結交于點，再聯結、、．易得．

從而，

從而，．

又，得是邊長為3的正三角形．

進而，，，

是邊長為的正三角形．

當、、中有紅點時，、、中存在三頂點同為紅色的正三角形，其邊長為質數3、5、7之一，命題已成立．

當、、中無一為紅點時，考慮點．

（1）為藍點，則是三頂點同為藍色的正三角形，其邊長為質數3．

（2）為紅點，考慮點，若點為紅點，則是三頂點同為紅色的正三角形，其邊長為質數5；若點為藍點，則是三頂點同為藍色的正三角形，其邊長為質數7．

綜上，圖中總存在三個同色點，兩兩距離相等且長度為質數3、5、7之一．