Question

設拋物線C₁的方程為y=

1

20

x²，它的焦點F關于原點的對稱點為E．若曲線C₂上的點到E、F的距離之差的絕對值等于6，則曲線C₂的標準方程為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據題意，知曲線C₂是焦點在y軸上的雙曲線，設方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1，（a＞0，b＞0），由此能求出曲線C₂上的標準方程．

解答： 解：方程y=

1

20

x2可化為x²=20y，它的焦點為F（0，5），
∴點E的坐標為（0，-5），
根據題意，知曲線C₂是焦點在y軸上的雙曲線，
設方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1，（a＞0，b＞0），
則2a=6，a=3，
又c=5，b²=c²-a²=16，
∴曲線C₂上的標準方程為

y2

9

-

x2

16

=1．
故答案為：

y2

9

-

x2

16

=1．

點評：本題考查曲線C₂的標準方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線性質的合理運用．