Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）的單調函數，且對任意x∈（0，+∞）的，都有f[f（x）-lnx]=1，則函數g（x）=e^x-f（x）+1的最小值必在區間（　　）

• A、(

  5

  2

  ，3)
• B、(2，

  2

  5

  )
• C、（1，2）
• D、(

  1

  2

  ，1)

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數單調性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：利用f（x）是定義在（0，+∞）的單調函數，且對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=1，求出f（x）=1+lnx，再求導，結合零點存在定理，即可得出結論．

解答： 解：設f（x）-lnx=m，則f（m）=1，
∴1-lnm=m，∴m=1，
∴f（x）=1+lnx，
∴g（x）=e^x-f（x）+1=e^x-lnx，
∴g′（x）=e^x-

1

x

，
∵g′（

1

2

）＜0，g′（1）＞0，
∴函數g（x）=e^x-f（x）+1的最小值必在區間（

1

2

，1）．
故選：D．

點評：本題考查函數的最值，考查函數單調性，考查導數知識的運用，確定函數的解析式是關鍵．