Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a，x∈[0，1]．
（1）若a=1，求f（x）的最大值與最小值；
（2）若f（x）的最大值為2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）將a=1代入函數(shù)解析式化簡，然后利用單調(diào)性求最值即可，（2）先對函數(shù)進行分析，然后按對稱軸相對區(qū)間[0，1]位置分3類進行討論．

解答： 解：（1）a=1時，f（x）=-x²+2x，其圖象開口向下，對稱軸為x=1，在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則x=1時，f（x）取得最大值1，x=0時取得最小值0；
（2）f（x）=-x²+2ax+1-a，其圖象開口向下，對稱軸為x=a，
當a＜0時，函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減，f_max=f（0）=1-a=2，則a=-1，
當a＞1時，函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，f_max=f（1）=a=2，則a=2，
當0≤a≤1時，函數(shù)在[0，1]上不單調(diào)，x=a時取得最小值，最大值為f（0）或f（1），解得a=2或a=-1，
綜上，a=2或-1．

點評：本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，注意對函數(shù)的基本分析，和分類討論．