Question

【題目】在平面直角坐標系中曲線的參數方程為（為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程以及直線的直角坐標方程；

（2）將曲線向左平移2個單位，再將曲線上的所有點的橫坐標縮短為原來的，得到曲線，求曲線上的點到直線的距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；； （2）.

【解析】

（1）曲線的參數方程化簡消參后得到普通方程，利用，對直線的極坐標方程進行化簡，得到的直角坐標方程；

（2）根據變換規則，得到變換后的曲線的方程，寫出其參數方程，從而得到曲線上任一點的坐標，利用點到直線的距離公式，結合正弦型函數的值域，得到最小值.

（1）曲線的參數方程為（為參數）

所以，兩式平方后相加得，

即曲線的普通方程為：.

直線的極坐標方程為，

即

，

因為，

所以直線的直角坐標方程為：

（2）曲線：向左平移2個單位，

得到，

再將曲線上的所有點的橫坐標縮短為原來的

得到，

即曲線；

所以曲線的參數方程為（為參數)，

設曲線上任一點，

則點到直線的距離為：

則(其中)，

當時，取最小值，為

所以點到直線的距離的最小值為.