Question

已知關(guān)于x的方程

|cosx|

x

=k在（0，+∞）有且只有兩根，記為α、β（α＜β），則βtanβ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）=|cosx|-kx得到g（x）=|cosx|和函數(shù)h（x）=kx，再畫(huà)出兩函數(shù)的圖象，問(wèn)題得解．

解答： 解；解：原題等價(jià)于方程|cosx|=kx在（0，+∞）恰有兩個(gè)不同的解，
等價(jià)于函數(shù)g（x）=|cosx|與函數(shù)h（x）=kx的圖象在（0，+∞）恰有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖），



在（

π

2

，π）內(nèi)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為β，且此時(shí)直線h（x）=kx與曲線g（x）=|cosx|相切，切點(diǎn)為（β，kβ），
又x∈（

π

2

，π）時(shí)，g（x）=-cosx，g'（x）=sinx，
故k=g'（β）=sinβ，∴kβ=g（β）=-cosβ．
即cosβ=-βsinβ，
βtanβ=-1
故答案為：-1

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)可結(jié)合圖形，難度適中．