Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

（1）證明：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）求點C₁到面CB₁N的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）通過證明B₁C₁⊥BN，BN⊥B₁N，利用直線與平面垂直的判定定理證明BN⊥面C₁B₁N．
（2）利用等體積法轉化為四棱錐的體積，VC1-CNB1=VN-CB1C1=

1

2

VN-CBB1C1，然后求解即可．

解答： 解：（1）證明：由題意：該幾何體的正視圖其正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．
則B₁C₁⊥面ABB₁N，且在ABB₁N內，易證∠BNB₁為直角，
∵B₁C₁⊥面ABB₁N且BN?面ABB₁N，∴B₁C₁⊥BN，
又∵BN⊥B₁N，且B₁N∩B₁C₁=B₁，
∴BN⊥面C₁B₁N．
（2）由等體積法VC1-CNB1=VN-CB1C1=

1

2

VN-CBB1C1=

1

2

×

1

3

×8×4×4=

64

3

，

1

3

S△CNB1h=

64

3

，
則h=

64

S△CNB1

=

4 6

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理的證明，幾何體的體積的求法，考查邏輯推理能力以及計算能力．