Question

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界，已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；

（2）若函數(shù)在上是以4為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）值域為，不是有界函數(shù)；（2）．

【解析】試題分析：（1）把代入函數(shù)的表達式，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合有界函數(shù)的定義進行判斷；（2）由題意知，對恒成立，令，對恒成立，設(shè)，，求出單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最值，從而求出的值.

試題解析：（1）當(dāng)時，，令，∵，∴，；∵在上單調(diào)遞增，∴，即在上的值域為，故不存在常數(shù)，使成立．∴函數(shù)在上不是有界函數(shù)．

（2）由題意知，對恒成立，即：，令，∵，∴．∴對恒成立，∴，設(shè)，，由，由于在上遞增，在上遞減，在上的最大值為，在上的最小值為，∴實數(shù)的取值范圍為．