Question

【題目】水培植物需要一種植物專用營養(yǎng)液，已知每投放且個單位的營養(yǎng)液，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時間（天）變化的函數關系式近似為，其中，若多次投放，則某一時刻水中的營養(yǎng)液濃度為每次投放的營養(yǎng)液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據經驗，當水中營養(yǎng)液的濃度不低于4（克/升）時，它才能有效.

（1）若只投放一次2個單位的營養(yǎng)液，則有效時間最多可能持續(xù)幾天？

（2）若先投放2個單位的營養(yǎng)液，4天后再投放b個單位的營養(yǎng)液，要使接下來的2天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，試求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）4天；（2）

【解析】

（1）營養(yǎng)液有效則需滿足y≥4，由分段函數，對x討論，解不等式即可得到結論；

（2）通過化簡、利用基本不等式可知在[4，7]上恒成立，運用參數分離和換元法，結合基本不等式，即可得到b的最小值．

（1）已知，當時，

要使營養(yǎng)液有效，則需滿足y≥4，則或，

即為1≤x≤2或2＜x≤5，解得1≤x≤5，所以營養(yǎng)液有效時間可達4天；

（2）當4≤x≤7時，y＝14﹣2x+b在[4，7]上恒成立，

∴在[4，7]上恒成立，令，則b≥﹣2（t+）+20，

又﹣2（t+）+20≤﹣2+20＝20﹣，

當且僅當t＝，當t＝時，即時，取等號；

∵，∴，b的最小值為．

所以，要使接下來的2天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，b的最小值為．