Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），且

b

與

a

滿足|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，其中k＞0．
（1）用k表示

a

•

b

；
（2）求向量a，b的最小值，并求向量a，b的夾角大小．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,不等式的解法及應用,平面向量及應用

分析：（1）由

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），可得|

a

|=|

b

|=1，結合|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，利用平方法，可得k²

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=3（

a

2-2k

a

•

b

+k²

b

2），整理后可用k表示

a

•

b

；
（2）由（1）中函數的解析式，利用基本不等式，可分析出

a

•

b

的最小值，代入向量夾角公式，可得此時

a

，

b

夾角θ的大小．

解答： 解：∵|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|兩邊平方，
得：|k

a

+

b

|²=3|

a

-k

b

|²
∴k²

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=3（

a

2-2k

a

•

b

+k²

b

2），
即

a

•

b

=

(3-k2) a 2+(3k2-1) b 2

8k

．
∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴

a

²=1，

b

²=1，
∴

a

•

b

=

1+k2

4k

；
（2）∵k＞0，
∴（k-1）²≥0，從而k²+1≥2k，
即

1+k2

4k

≥

2k

4k

=

1

2

，當且僅當k=1取得最小值．
∴

a

•

b

的最小值為

1

2

，
此時cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

1

2

，
∴θ=60°，
即

a

與

b

的夾角為60°．

點評：本題考查的知識點是平面向量的綜合題，熟練掌握向量模計算的計算方式及平面向量夾角公式，是解答的關鍵．