Question

（本小題滿分14分）
如圖5所示，在三棱錐中，，平面平面，于點， ，，．

（1）證明△為直角三角形；
（2）求直線與平面所成角的正弦值

Answer 1

（1）證明1：因為平面平面，平面平面， 平面，，
所以平面．
記邊上的中點為，在△中，，所以．
因為，，所以．

因為，所以△為直角三角形．
因為，，
所以．
連接，在△中，因為，，
所以．
因為平面，平面，所以．
在△中，因為，，
所以．
在中，因為，，，
所以．
所以為直角三角形．
證明2：因為平面平面，平面平面， 平面，，
所以平面．
記邊上的中點為，在△中，因為，所以．
因為，，所以．
連接，在△中，因為，，，
所以．
在△中，因為，，，
所以，所以．
因為平面，平面，
所以．
因為，所以平面．
因為平面，所以．
所以為直角三角形．
（2）解法1：過點作平面的垂線，垂足為，連，
則為直線與平面所成的角．
由（1）知，△的面積．
因為，所以．
由（1）知為直角三角形，，，
所以△的面積．
因為三棱錐與三棱錐的體積相等，即，
即，所以．
在△中，因為，，
所以．
因為．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
解法2：過點作，設，

則與平面所成的角等于與平面所成的角．
由（1）知，，且，
所以平面．
因為平面，
所以平面平面．
過點作于點，連接，
則平面．
所以為直線與平面所成的角．
在△中，因為，，
所以．
因為，所以，即，所以．
由（1）知，，且，
所以．
因為，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
解法3：延長至點，使得，連接、，
在△中，，

所以，即．
在△中，因為，，，
所以，
所以．
因為，
所以平面．
過點作于點，
因為平面，
所以．
因為，
所以平面．
所以為直線與平面所成的角．
由（1）知，，
所以．
在△中，點、分別為邊、的中點，
所以．
在△中，，，，
所以，即．
因為．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
解法4：以點為坐標原點，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，
  
則，，，．
于是，，．
設平面的法向量為，
則
即
取，則，．
所以平面的一個法向量為．
設直線與平面所成的角為，
則．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
若第（1）、（2）問都用向量法求解，給分如下：

（1）以點為坐標原點，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，
則，，．
于是，．
因為，
所以．
所以．
所以為直角三角形．
（2）由（1）可得，．
于是，，．
設平面的法向量為，
則即
取，則，．
所以平面的一個法向量為．
設直線與平面所成的角為，
則．
所以直線與平面所成角的正弦值為．

略