Question

【題目】四棱錐中，底面是中心為的菱形，，．

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由題意，，又，則平面，則，又，則平面；

（2）由題意，直線與平面所成的角即為，設菱形的邊長為2，取的中點，連接，則平面，以為原點，，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用平面的法向量求解二面角．

（1）證明：因為底面是菱形，

故，又，且平面，，

∴平面，∵平面，∴

又∵，，平面，

∴平面；

（2）解：由（1）知，平面，

故直線與平面所成的角即為，

設菱形的邊長為2，由平面幾何知識，

，

取的中點，連接，則平面，

以為原點，，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則

，，，，

平面的一個法向量為，

平面的一個法向量為，

，，

故所求二面角的正弦值為．