Question

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求證：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝4，求平面PBC與平面PDC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）通過證明BD⊥AC和BD⊥PA，可證得結論；

（2）以BD與AC的交點O為坐標原點，OB，OC所在直線為x軸，y軸，過點O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別計算平面PBC的一個法向量為n1，平面PDC的一個法向量為n2，利用向量夾角公式可得解.

(1)證明：因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC.

又PA⊥平面ABCD，

所以BD⊥PA.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.

(2)以BD與AC的交點O為坐標原點，OB，OC所在直線為x軸，y軸，過點O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由已知可得，AO＝OC＝，OD＝OB＝1，

所以P(0，－，4)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)，

(0，2，－4)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，0)．

設平面PBC的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)，平面PDC的一個法向量為n2＝(x2，y2，z2)，

由可得令x1＝，可得n1＝.

同理，由可得n2＝，

所以cos〈n1，n2〉＝＝－，所以平面PBC與平面PDC所成角的余弦值為.