Question

已知函數g（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）-h（x）．
（1）g（x）在（1，2）單調遞增，求a的取值范圍．
（2）當a∈R時，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：（1）即導函數在區間（1，2）上大于或等于0恒成立，然后轉化為函數的最值問題來解；
（2）求導數，然后對不等式的解集進行討論，獲得原函數的遞增、遞減區間．

解答： 解：（1）由已知得g′（x）=

1

2

x2+(a-2)x≥0在（1，2）上恒成立．
又因為x∈（1，2），故只需a≥2-

1

2

x，當x∈（1，2）時恒成立．
顯然，當x=1時，a≥2-

1

2

=

3

2

即為所求．
（2）由已知得f（x）=

1

2

x2+(a-2)x-2alnx．（x＞0）．
易得f′(x)=x-

2a

x

+a-2=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

(x＞0)．
①當a＞0時，f（x）在（0，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數；
②當-2＜a≤0時，f（x）在（0，-a）上是增函數，在（-a，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數；
③當a=-2時，f（x）在（0，+∞）上是增函數；
④當a＜-2時，f（x）在（0，2）上是增函數，在（2，-a）上是減函數，在（-a，+∞）上是增函數．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性的基本思路，屬于常規題，要注意總結思路．