Question

【題目】已知函數f（x）=3x ， g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R． （Ⅰ）若函數h（x）=f[g（x）]的圖象關于直線x=2對稱，求a的值；
（Ⅱ）給出函數y=g[f（x）]的零點個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的圖象關于直線x=2對稱，則h（4﹣x）=h（x）|x+a|=|4﹣x+a|恒成立a=﹣2；

（Ⅱ）函數y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零點個數，就是函數G（x）=|3x+a|與y=3的交點，

①當0≤a＜3時，G（x）=|3x+a|=3x+a與y=3的交點只有一個，即函數y=g[f（x）]的零點個數為1個（如圖1）；

②當a≥3時，G（x）=|3x+a|=3x+a與y=3沒有交點，即函數y=g[f（x）]的零點個數為0個（如圖1）；

③﹣3≤a＜0時，G（x）=|3x+a|與y=3的交點只有1個（如圖2）；

④當a＜﹣3時，G（x）=|3x+a|與y=3的交點有2個（如圖2）；

【解析】（Ⅰ）函數h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的圖象關于直線x=2對稱，則h（4﹣x）=h（x）|x+a|=|4﹣x+a|恒成立a=﹣2；（Ⅱ）函數y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零點個數，就是函數G（x）=|3x+a|與y=3的交點，

分①當0≤a＜3時；②當a≥3時；③﹣3≤a＜0時；④當a＜﹣3時，畫出圖象判斷個數．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．