Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ADC=90°，PD=AD=AB=1，DC=2．
（1）求證：BC⊥平面PBD；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以D為原點建立空間直角坐標系D﹣xyz，如圖所示，

則：A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），P（0，0，1）

∴ ， ， ，

∴ ，∴DP⊥BC，DB⊥BC，

又 DP平面PDB，DB平面PDB，DP∩DB=D，

∴BC⊥平面PBD

（2）由（1）可知： ， ， ．

設 、 分別是平面PAB和平面PBC的一個法向量，

則 且

即 ，

不妨設x1=x2=1，則 ， ，

∴ = ．

由圖已知二面角A﹣PB﹣C為鈍二面角，

二面角A﹣PB﹣C的大小為 ．

【解析】（1）建立坐標系，求出 ， 的坐標，通過計算數量積得出DP⊥BC，DB⊥BC，故BC⊥平面PBD；（2）分別求出兩平面的法向量，計算法向量的夾角即可得出二面角的大小．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定，需要了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能得出正確答案．