Question

【題目】如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上一點，OA=2，B為半圓上任意一點，以線段AB為腰作等腰直角△ABC（C、O兩點在直線AB的兩側），當∠AOB變化時，OC≤m恒成立，則m的最小值為______．

Answer 1

【答案】2+1

【解析】

根據題意，以O為坐標原點，OA為x軸建立坐標系，設∠AOB=θ，分析A、B的坐標，可得向量的坐標，又由△ABC為等腰直角三角形，則AC⊥AB且|AC|=|AB|，分析可得向量的坐標，進而由向量坐標的加法可得向量的坐標，進而可得向量的模，分析其最大值，若OC≤m恒成立，分析可得答案．

解：根據題意，以O為坐標原點，OA為x軸建立坐標系，如圖：

則A（2，0），設∠AOB=θ，（0≤θ≤π），則B的坐標為（cosθ，sinθ），

則=（cosθ-2，sinθ），

△ABC為等腰直角三角形，則AC⊥AB且|AC|=|AB|，

又由C、O兩點在直線AB的兩側，則=（sinθ，2-cosθ），

則=（2+sinθ，2-cosθ），

則||2=（2+sinθ）2+（2-cosθ）2=9+4（sinθ-cosθ）=9+4sin（θ-），

所以當θ=時，||2取得最大值9+4，

則OC的最大值為2+1，

若OC≤m恒成立，則m≥2+1，即m的最小值為2+1；

故答案為：2+1．