Question

在平面直角坐標系中，已知一個雙曲線的中心在原點，左焦點為F（-2，0），且過點D(

3

，0)．
（1）求該雙曲線的標準方程；
（2）若P是雙曲線上的動點，點A（1，0），求線段PA中點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設雙曲線方程，由題意得c=2，a=

3

，再由a，b，c的關系可得b，進而得到雙曲線方程；
（2）設線段PA的中點為M（x，y），點P的坐標是（x₀，y₀），運用中點坐標公式和雙曲線方程，即可得到軌跡方程．

解答： 解：（1）設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則由題意得c=2，a=

3

，b=

c2-a2

=1．
則雙曲線的標準方程為

x2

3

-y2=1；
（2）設線段PA的中點為M（x，y），點P的坐標是（x₀，y₀），
由

x= x0+1 2 y= y0 2

，得

x0=2x-1 y0=2y

，
因為點P在雙曲線上，得

(2x-1)2

3

-(2y)2=1
∴線段PA中點M的軌跡方程是（2x-1）²-12y²=3．

點評：本題考查雙曲線方程和性質，考查軌跡方程的求法，考查中點坐標公式，考查運算能力，屬于基礎題．